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      一道題的解題歷程
      ——習題研究的價值(胡磊)
      編輯日期:2018-12-14  發稿人:宣傳部戴巧辰    閱讀次數: 次  [ 關 閉 ]

      前幾天,學生來問了一道題,題目大體如下:

      “已知,如圖1,在△ABC中,AB=AC=4,BC=7,如圖2,在BC邊取一點D,連接AD,使得∠DAC=∠C,將△ACD沿AD對折后得到△AED,連接BE,求BE的長

      對于這道題,起初的思路是:

      BDAE的交點記為F,先證△ABC∽△DAC,得到CD=16/7BD=33/7,進而得到AD=CD=16/7

      再證ABD∽△FAD,得到DE=16/231,進而得到BE=(33-16)231

      最后證ABD∽△FBE,利用AB/BD=BF/BE得到BE=17/4.

      這種解法的問題是:(1)步驟中證明ABD∽△FBE是個難點;(2)整個過程的計算量和計算難度都不小,于是我查詢了網絡上關于這道題的解法,基本思路都差不多,但這類解法對于班里大部分同學來說,難度不小!所以我對本題做了進一步的研究:

        根據題意可知AB=AE=AC=4,由此可看成點BEC都在A上,且半徑是已知量,或許這道題可以用圓的思想來解決?(如圖1-1)延長EAG使得GA=EA,連接BG,得到RtGBE,根據勾股定理可求BE的長,接下來,問題就轉化成如何求BG的長!

                                            

      1-1                       1-2                                         1-3

        一開始猜想BG=BC,于是嘗試證明△ABG≌△ABC,但利用角度驗證發現不對,原因如下:設∠ABC=α,則C=1=2=αBAC=180°-2α,得到3=180°-4α,進而得到BAG=4α,由此可見BAC不一定等于BAG.如圖1-2

        正所謂“山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村”,發現∠GAC=∠BAC=180°-2α,連接CG,可得△ACB≌△ACG,進而CG=BC=7,此時再延長CA交BG于點H,易得CH⊥BG,同時驚喜地發現BE=2AH(AH是△BEG的中位線,則不需要求BG了),問題最終轉化為求AH的長!(如圖1-3

      關于AH的長,可利用勾股定理列方程4²-AH²=7²-(4AH)²解得AH=17/8,最終求得BE=17/4.

      回顧整個過程,這種解法涉及到的計算量和計算難度相對簡單很多,同時避開了證明三角形相似這一難點,當然也存在著一些不足之處,敬請指正.

      2018年12月6日

       
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